组和作用于集合的组

目标：

了解作用于场景，基本区域和子组的组。

文本：我们知道，某些属性通常适用于曼荼罗的对称集。一个重要的问题是，当对称性被破坏时，结果集的大小将始终除以原始集合的大小（子组的顺序除以组的顺序）。

• 1.我们即将进行最后的作业。这将与伊斯兰艺术有关，我们将在周一看到许多幻灯片。为了为此做好准备，它有助于更​​多地了解组的子组，以及有关一些作用于组的称为组的基本区域的信息。
  
• 2.您的颜色三角形。他们有对称感吗？课堂讨论。切碎我的并将其放在模板上。有多少种方法？怎么了？纯色排列。给出颜色三角形的方程式怎么样？
  
• 3.更多示例，例如来自等式的几何。这些“对称性”与正等边三角形的特殊对称性有什么关系？这些都是“一组在一组上起作用”的例子。
  
• 4.以下是更多示例：
  • 一种。三个字母a，b，c的排列。使用三个志愿者。
  • b。3空间中的一组平面，由下式给出：a = 0，b = 0，c = 0，
    （a + b）+（a + c）=0。（a + b）+（b + c）= 0，（a + c）+（b + c ）= 0，
    a + b = 0，b + c = 0，a + c = 0。
    使用vectomatic。（使用vectomatic，您实际上是在看a + b = 0和c =0。）
  • C。上面的方程组。请注意，要使这一点有意义，您必须愿意像直线或平面一样将这些方程式作为客观现实给出。你能想到别人吗？是的，三角形的排列，使用颜色三角形。
• 5.为作用在集合上的群体制定正式定义。（从假设阅读中给定的组的正式定义开始。）2或3组，每组10分钟。提出想法，确定合理的定义。

考虑以下乘法表。

* A B C D
aa
宝贝
卡卡奇
dadcb

* A B C D
aabcd
巴巴德
ccdba
ddcab

我们想知道曼荼罗可以提供哪种桌子。试着想象与第一乘法表曼陀罗会是什么样子：任何与运动由运动一 将不得不导致 一 试。但是只有一个动作可以做到这一点-“什么都不做”-乘法表声称有三种不同的动作。显然，没有像这样的对称曼荼罗，因此第一个表不是来自曼荼罗。

另一方面，第二张表可能看起来很熟悉。你能用这张桌子画曼陀罗的照片吗？

回忆一下group的定义，注意第一个表的集合不是一个组（为什么？），而第二个表则不是。

到目前为止，我们只研究了具有有限对称集的模式。但是，我们可以采用其中任何一种模式，并在整个无限平面内重复进行。根据我们执行此操作的方式，我们可以保留部分或全部原始对称性，也可以创建一些新的对称性。

墙纸组（平面对称性组）
David E. Joyce（djoyce@black.clarku.edu）

请注意，每当重复一个模式，就会创建一种新的对称性-平移对称性。当我们无限重复一个模式时，我们得到无限的平移对称性。因此，我们现在有了无限的对称性。实际上，这个新的无限集是一个组（我们怎么看这个？）。回想一下，在曼陀罗的情况下，我们可能会破坏或忽略某些对称性，而剩下一个较小的集合，即完整集合的子集。这样较小的一组称为 原始组的子组。在这个新的无限组的情况下，我们有无限个子组（找到一些）。

此模式显示了另一种新的对称性，一种不太明显的对称性：
出自J. Bourgoin：“阿拉伯总体模式”
Dover Publications，Inc.，1985年

在这种情况下，通过平移和镜像翻转的组合来创建对称性。这种对称性称为滑行反射。无论是镜面翻转还是平移都不能使红色设计躺在蓝色设计上-我们需要同时做这两个。

我们将平面中的重复图案定义为在两个方向上具有无限平移对称性的图案。这种模式可以用来表达强烈的艺术气息。例如，它们在伊斯兰艺术中被用来暗示无限。

• 1.什么阻止了乘法表来自曼陀罗？如何判断给定的表是否正确？
  
• 2.考虑以下两个曼荼罗：
  它们具有相同的对称性吗？为什么或者为什么不？它们的乘法表是相同的，但是它们是不同的几何对象。通过删除曼荼罗中的对称性，我们可以进行抽象层次化处理，并说这些组看起来相同。

 找到以下每种模式的对称性。

摘自Istvan Hargittai和Magdolna Hargittai：“对称是统一的概念”，
住房出版社，第187页

• 1.您如何描述对称性？有没有很好的几何描述？好的口头描述？一个好的代数描述？
• 2.您看到的对称类型是否在几何上属于自然类别？如果是这样，您将如何描述这些类？

附在这张纸上的是对来自三个不同来源的具有不同对称组的图案的三个描述。随时与一个或两个朋友一起工作。如果两个人一起工作，则不必交多个副本。（上面写着您的所有姓名。）同时，请您在7月11日的课堂上交给您的Mtork小组，作为此项作业的一部分。

• 1.关联来自各种来源的模式。来自第二个来源的哪个图案显示与来自第一个来源的第一个图案相同的对称性？依此类推。给我一个相关清单。
• 2.它们完美匹配吗？是否有任何一种模式与其他两种模式不匹配？您基于此猜想什么？请给我一个写得很好的段落。
• 3.您能找到或制作出讲义中没有的图案吗？例如，您可以制作具有5折对称性的重复图案吗？如果您无法构建一个新的，请写一两段描述您为此所做的努力以及失败的原因或方式。
• 4.模式列表之一为对称组提供了标准化的符号。你能解码吗？pmg意味着什么？证明你的答案。