目标：
要研究复杂性，3-d幻觉和比例尺对称性的问题。
- 1。摩尔人滑梯。埃舍尔在沼泽上。“可怜的是摩尔人的宗教禁止他们制作图像！在我看来，有时候他们非常接近于将其元素发展成为比他们创造的抽象几何形状更重要的人物。没有摩尔人的艺术家，据我所知，曾经敢于（或者他没有实现这个主意吗？）将混凝土，可识别的，从大自然中借来的人物（例如鱼，鸟，爬行动物或人类）用作建筑构件，这很难相信，因为可识别性对我来说是如此重要， 以至于没有它我就做不到。”
- 2。MC Escher：
1989年由HARRY N. ABRAMS，INC。在纽约
对称工作45，第42 页上发表的“ ESCHER on ESCHER探索无限”
埃舍尔幻灯片。平面图案。“ …在我看来，您没有背景就做不对。这是背景和人物轮流改变功能的构图。两者之间存在持续的竞争， 甚至不可能继续看到如图所示，一个元素不可抗拒地发挥着不可替代的作用。”-JW Wagenaar，（致MC Escher的私人信件）Leonardo，佩加蒙出版社，1979年，第1期。12来自HSM Coxeter：“ Escher图片’Circle Limit III’的非欧几里得对称性第
19-25页，图1。其对称群为（6,4,2）的图案
“我是在1954年9月与埃舍尔第一次见面的，当时他的作品展览是由国际数学家大会赞助的，那年在阿姆斯特丹举行。在过去的17年中，他一直在设计作品，其中重复了一些动物的绘画，在墙纸上，有两项非凡的创新：不仅通过翻译而且还通过其他等距形式重复基本单元（通常是单个动物……），并且复制品巧妙地组合在一起，因此没有缝隙。数学的语言，基本单元是基本区域 为对称群。他在1958年12月的一封信中写道：我是否曾经感谢您给我发送过……“对称性研讨会”？我对这本小册子感到非常满意，并为我的飞机图案的两次复制感到骄傲！尽管您的文章“晶体对称性及其一般化”的文本对于像我这样的简单，自制的图案人来说已经学得太多了，但其中一些文本插图，尤其是第11页的图7给我带来了很大的震撼。 ..如果您能给我一个简单的解释，如何构造以下的圆，其圆心从外部逐渐接近，直到达到极限，我将非常高兴并非常感谢您！除此以外，还有其他系统可以达到圈数限制吗？尽管如此，我还是用您的模型制作了大型木刻版画（其中，我仅在120度的木材中执行过一次扇区，我打印了3次）。我正在向您发送一份副本。这张照片是“圆圈极限I”。”MC Escher：“在ESCHER上探索无限的ESCHER”，第126页
1989年由HARRY N. ABRAMS，INC。，纽约出版一圈木刻，1958年
- 3. Escher在谈论填充空间的方法。您如何描述Escher和Penrose磁贴方法之间的区别？在数学中，存在同质空间的概念，即每个部分“看上去”都与其他每个部分一样的空间。无论对称性如何，具有很多对称性的伊斯兰图案似乎都具有这种特性。MC Escher：“在ESCHER上探索无限”，p。116
由HARRY N.ABRAMS，INC。，纽约于1989年出版图3
MCEscher：“ ESCHER在ESCHER上探索无限”，第2页。117
由HARRY N.ABRAMS，INC。在纽约发布于1989年平面VI的常规师
图片几何分形构造的幻灯片，类似埃舍尔印刷的幻灯片。埃舍尔（Escher）圆极限印刷是更像墙纸图案还是更像Penrose瓷砖？为什么？我想听听数学和艺术上的原因。（我们在寻找诸如规律性，艺术家表达无限的意图之类的思想。）我们可以考虑将数学泛化的思想：平铺与对称问题，比例缩放。Escher的对称性是什么？（我们正在这里寻找尺度的对称性。）MCEscher：“在ESCHER上探索无限”， p。42
1989年由纽约HARRY N. ABRAMS，INC。发布圆形极限IV，
新的Escher圆限制打印。你看到了什么？您看到3D物体了吗？如果可以的话，它是什么形状？您认为您可以制造出这种形状的东西吗？（它必须离开您的速度有多快？它必须向侧面生长有多快？）我们在板上画了一张无限圆柱状子弹的图片。想象一下自下而上的观点：您看到了什么？以这种方式获得圆形极限图片会发生什么？在上面的圆圈限制打印中，您看到运动了吗？埃舍尔称这为“交通流”吗？在这里如何使用动物图像？他们是增强还是减弱了运动的观念？这与伊斯兰设计相比如何？你看到规律性吗？动物在鼻子和尾巴相遇的方式怎么样？会议的角度如何？这就是数学家所说的同质性。 - 5.相对论的选择性讨论空间问题。请全班解释重力：是什么使月球绕地球运行？它是如何工作的？讲师沉迷于17世纪的怀疑论中。甚至艾萨克·牛顿（Isaac Newton）都发现“远距离力”的想法令人不安。月球与地球之间是什么？空间是什么样的？月亮怎么知道地球在那里？有人能想到远距离受力等其他例子吗？“远处的力”和ESP有什么区别？关于什么是新主意以及如何接受主意，这里有很多有趣的历史问题。现在，我们认为空间是弯曲的，就像圆形限制打印一样，并且我们将曲率视为重力的来源。重力由空间的形状赋予。
- 6.埃舍尔读了《不可能》。圆极限滑动。MC Escher：“在ESCHER上探索无限”。41
1989年由纽约HARRY N.ABRAMS，INC。出版平方极限
- 7.埃舍尔圆极限。淡淡的报价。MC Escher：“在ESCHER上探索无限的ESCHER”，第2页。43
1989年由纽约HARRY N.ABRAMS，INC。出版圆极限III
“在视觉艺术方面，除了照亮，模仿和解释现实外，一些艺术家还为尚无文字的事物创造了一种符号语言。就像西格蒙德·弗洛伊德（Sigmund Freud）在其《 文明及其不满》中所表达的那样。通过将一个文明的全体人民的进步与一个人的发展进行比较，我认为艺术的激进创新体现了新概念的前奏阶段，这些新概念最终将改变文明。对于婴儿还是处于变革边缘的社会，一种思考现实的新方法始于对陌生图像的同化。这种归类导致抽象的思想，后来才产生一种描述性语言。”
-Leonard Shlain，艺术与物理，空间，时间和光的平行视觉“在艺术上千里眼，我们还没有找到一个名字，而且还缺少解释。”
-约翰·罗素（John Russell），《现代艺术的意义》在这种情况下，它是倒退的。首先是数学，然后是物理，然后是艺术。 - 8.实际上，我们生活的时空事物的形状非常像E的照片之一。而且，数学家们一直在弄乱像圆极限图片这样的物体。（洛巴切夫斯基（Lobatchevsky），大约1825年，庞加莱（Poincare），1800年代末）。图片。
- 9.模块化小组的选择性讨论是否想了解赋予这些对称性的小组行为？我们给出了一个非核几何的简短历史，然后就我们敢于描述庞加莱上半平面。只是在飞 但是我们确实指出，通过这种方式，您可以获得五重对称性，并具有重复性。埃舍尔知道这一点！我认为。不过，我找不到像这样的木刻版画的例子。关于这种类型空间的主要事实：如果没有自相交，则该2维表面无法容纳在3维空间中，并且光将不沿测地线而是沿周期摩托车行进。
- 10.明尼苏达大学几何中心大学网站，具有允许您建立自己的圆极限组的软件。
- 11.数学上的埃舍尔：MC Escher：“在ESCHER上探索无限”，p。57
1989年由HARRY N. ABRAMS，INC。，纽约出版立方空间填充
“让我说巴赫神父是我的强大灵感，当我在听他倒出的清澈的葡萄酒时，我听到许多印刷品在我的脑海中形成了明确的形式。当人们谈论“清醒”和“逻辑”时，就会不由自主地想到数学。在阿纳姆（Arnhem）的高中时期，我在算数和代数方面特别贫穷，因为我在对数字和字母进行抽象方面遇到了很大的麻烦，但现在仍然很麻烦。当我被要求发挥自己的想象力时，几何学方面的事情变得更好了，但是无论在学校还是在这方面我都没有出色的表现。但是我们的人生道路可能会发生奇怪的转变。”MC Escher：“在ESCHER上探索无限的ESCHER”，第2页。57
1989年由HARRY N. ABRAMS，INC。，纽约出版深度
“尽管我现在仍然是数学领域的外行，尽管我缺乏理论知识，但数学家，尤其是晶体学家对过去二十年的工作产生了相当大的影响。我们-秩序，规律性，周期性重复和更新-对我来说越来越重要。对它们的存在的认识给我带来了和平，并为我提供了支持。我在版画中尝试证明我们生活在美丽的环境中秩序井然的世界，而不是有时候看起来的混乱。” - 12.我们通常通过观看几何中心电影《结》（Not Knot）来结束本课程，该电影给您带来穿越三维圆极限打印的感觉。
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THE END
